\begin{equation} f(t+2) = f(t+1) + f(t) \label{eq:f1} \end{equation} 積分の定義式は以下のとおりである f(t)が偶関数と仮定すると \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)dt \approx 2 \sum_{k=0}^{n} f(k) \Delta t \label{eq:f2} \end{equation} $$ \Delta t = 1 $$ とみなせるくらい大きな定義域があれば次式は成立する g(t)を次式のように仮定する \begin{equation} g(t) \approx \sum_{k=0}^{n} f(k) \label{eq:f3} \end{equation} \begin{equation} g(t+2) - g(t+1) = f(t+2) \label{eq:f4} \end{equation} \begin{equation} g(t+1) - g(t) = f(t+1) \label{eq:f5} \end{equation} \begin{equation} g(t) - g(t-1) = f(t) \label{eq:f6} \end{equation} \eqref{eq:f1}に\eqref{eq:f4},\eqref{eq:f5},\eqref{eq:f6}を代入すると \begin{equation} g(t+2) - g(t+1) = g(t+1) - g(t) + g(t) - g(t-1) = g(t+1) - g(t-1) \label{eq:f7} \end{equation} \begin{equation} g(t+2) = 2g(t+1) - g(t-1) \label{eq:f8} \end{equation} \eqref{eq:f8}とtにt-1を代入して整理すると \begin{equation} g(t+1) = 2g(t) - g(t-2) \label{eq:f9} \end{equation} \begin{equation} \sum_{k=0}^{n} t = \frac{n(n+1)}{2} \label{eq:f10} \end{equation} \begin{equation} \sum_{k=0}^{n} t^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \label{eq:f11} \end{equation} f(t)は以下の式であると仮定すると \begin{equation} f(t) = at^2 + bt + c \label{eq:f12} \end{equation} \begin{equation} \sum_{k=0}^{t}f(k) = a\sum_{k=0}^{t}t^2 + b\sum_{k=0}^{t}t + \sum_{k=0}^{t}c = a\frac{t(t+1)(2t+1)}{6} + b\frac{t(t+1)}{2} + ct = \frac{t(2at^2 + 3(a+b)t + a+3b+6c)}{6} \label{eq:f13} \end{equation} tが十分大きい時　$$ \frac{1}{t^2} $$　以上の項は0となり無視できると仮定すると \begin{equation} \frac{g(t+1)}{g(t)} = 2 - \frac{g(t-2)}{g(t)} \label{eq:f14} \end{equation} \begin{equation} \frac{g(t+1)}{g(t)} \approx \frac{2at + 6a}{2at + 3(a+b)} \label{eq:f15} \end{equation} \begin{equation} \frac{g(t-2)}{g(t)} \approx \frac{2at + 3b - 5a}{2at + 3(a+b)} \label{eq:f16} \end{equation} \eqref{eq:f9}に\eqref{eq:f15},\eqref{eq:f16}を代入すると \begin{equation} \frac{2at + 6a}{2at + 3(a+b)} = 2 - \frac{2at + 3b - 5a}{2at + 3(a+b)} \label{eq:f17} \end{equation} \begin{equation} a = -\frac{3b}{5} \label{eq:f18} \end{equation} ここでtの項が消えてしまって近似値は求められなかった残念 そこで方向を転換して、g'(t) = f(t)より \begin{equation} at^2 + (a+b)t + \frac{a+3b+6c}{6} = at^2 + bt + c \label{eq:f19} \end{equation} \begin{equation} t = -\frac{1}{6} - \frac{b}{2a} \label{eq:f20} \end{equation} ここでtが大きい値になるためには、a>0のときb<0でなければならない \begin{equation} 0< \epsilon < t = -\frac{1}{6} - \frac{b}{2a} \label{eq:f21} \end{equation} $$ \epsilon　$$ が十分大きい値とすると以下の等式が成立する \begin{equation} b < -2a \epsilon (1 + \frac{1}{6\epsilon}) \label{eq:f22} \end{equation} $$ \epsilon　$$ が十分大きい値なため $$ \frac{1}{6\epsilon} \approx 0 $$ とすると \begin{equation} b < -2a\epsilon \label{eq:f23} \end{equation} $$ a > 0　, \epsilon > 0 $$ なので　b<0 bは大きな負の値である a = 1 とすると\eqref{eq:f23}より \begin{equation} \epsilon　< \frac{-b}{2} \label{eq:f24} \end{equation} つまり、$$ b = \lvert 2 \epsilon \rvert $$ のところにとってbの値を設定すればよいことになるが、 これは、解がなさそうである